📝 Notes de Présentation — Contrôleur PID d’Ordre Fractionnaire Réglé par Réseau de Neurones

Présenté par : Rayane Akkouche | Encadrante : Mme Karima Amoura Spécialité : Automatique et Informatique Industrielle | UMMTO, 2025–2026

Diapo 1 — Page de titre

Saluer le jury, se présenter brièvement
Annoncer le titre complet : Contrôleur PID d’Ordre Fractionnaire Réglé par Réseau de Neurones — Application à la commande de vitesse d’un véhicule électrique hybride
Mentionner le cadre : mémoire de Master, spécialité Automatique et Informatique Industrielle

Diapo 2 — Plan de la présentation

La présentation est divisée en deux grandes parties :
- Partie I (Fondements) : Motivation, outils théoriques, modélisation
- Partie II (Contribution) : Architecture proposée, résultats, conclusion
Contribution principale à annoncer dès le début :

Combiner la robustesse structurelle du FOPID (iso-amortissement) avec la rapidité d’adaptation d’un réseau MLP

Diapo 3 — Titre de section : Motivation & Problématique

Simple diapo de transition, pas de texte — juste annoncer oralement la section

Diapo 4 — Contexte et Motivation

Pourquoi pas le PID classique ?

Représente > 97 % des régulateurs industriels
Efficace sur les systèmes simples et stationnaires
Insuffisant face aux systèmes non-linéaires et incertains

Pourquoi le FOPID est difficile à régler ?

Possède 5 paramètres : Kp, Ki, Kd, λ, µ (vs 3 pour le PID)
Les méthodes classiques (SQP, Nelder-Mead) convergent vers des minima locaux selon l’initialisation

⇒ Idée clé : utiliser un réseau de neurones pour calculer instantanément les paramètres optimaux pour toute condition opératoire

Diapo 5 — Objectif & Approche

Objectif : concevoir un contrôleur Neuro-FOPID où un MLP ajuste automatiquement les 5 paramètres du FOPID, entraîné à imposer un comportement d’iso-amortissement
Application : commande de vitesse d’un véhicule électrique hybride
Outil : MATLAB + FOMCON Toolbox
Validation : simulation en boucle fermée + tests de robustesse

Diapo 6 — Titre de section : Systèmes d’Ordre Fractionnaire

Diapo 7 — Opérateurs Différentiels Fractionnaires

Intégration fractionnaire d’ordre α : généralise l’intégrale classique via la fonction Gamma d’Euler
Deux définitions de la dérivée fractionnaire :
- Riemann-Liouville : dérive d’abord, intègre ensuite
- Caputo : intègre d’abord, dérive ensuite — préférée en commande car compatible avec les conditions initiales classiques
Exemple numérique : D²·³ t³ ≈ 6,603 t⁰·⁷ — illustre bien le concept d’ordre non entier

Diapo 8 — Approximation d’Oustaloup

L’opérateur $s^{α}$ n’est pas réalisable directement ⇒ on l’approxime par une fonction de transfert rationnelle
Méthode d’Oustaloup : produit de N pôles et zéros répartis logarithmiquement sur une bande de fréquences [ωl, ωh]
Le diagramme de Bode montre que pour N=5, la phase est presque plate sur la bande utile, ce qui est la propriété clé pour l’iso-amortissement

Diapo 9 — Modèle de Référence Fractionnaire — Iso-amortissement

Propriété centrale du FOPID : si λ est fixé, le dépassement reste constant malgré les variations de gain
Formules importantes à connaître :
- Mp(%) ≈ 0,8λ(λ + 0,25)
- Ts(5%) ≈ 3 / cos(π − π/(λ+1)) × τc
Robustesse intrinsèque : la phase de L(jω) est constante ⇒ marge de phase invariante aux variations de gain
λ contrôle l’amortissement, τc contrôle la rapidité — deux leviers indépendants

Diapo 10 — Titre de section : Contrôleurs PID et FOPID

Diapo 11 — Du PID Classique au FOPID

	PID	FOPID
Paramètres	3 (Kp, Ki, Kd)	5 (Kp, Ki, Kd, λ, µ)
Ordre des actions	Entier	Fractionnaire
Robustesse	Limitée	Meilleure (phase plate)

Le FOPID généralise le PID : si λ = µ = 1, on retrouve le PID classique
Le défi : régler 5 paramètres simultanément ⇒ justifie l’approche neuronale

Diapo 12 — Méthodes d’Optimisation pour le Réglage

SQP (Sequential Quadratic Programming) : résout des sous-problèmes quadratiques séquentiels — nécessite un gradient
Nelder-Mead (Simplexe) : sans gradient, robuste aux discontinuités, mais pas de garantie de convergence globale
Critères d’erreur intégraux : ISE, ITAE, IAE, ITSE — permettent de quantifier la qualité de la réponse
Limitation : dépendance au point d’initialisation ⇒ minima locaux ⇒ motivation de l’approche neuronale

Diapo 13 — Titre de section : Réseaux de Neurones

Diapo 14 — MLP et Fonctions d’Activation

Neurone formel : somme pondérée des entrées + biais, passée dans une fonction d’activation
Fonctions d’activation : Sigmoïde, tanh, ReLU, Leaky ReLU — ReLU est préférée pour les couches cachées
Théorème d’approximation universelle (Hornik, 1989) : un MLP à une seule couche cachée peut approximer n’importe quelle fonction continue ⇒ justification théorique du choix du MLP

Diapo 15 — Apprentissage par Rétropropagation

Fonction de coût MSE : moyenne des erreurs quadratiques sur les P exemples
Deux passes :
- Forward : calcul des activations couche par couche
- Backward : propagation du gradient par la règle des chaînes
Optimiseur Adam : adapte le taux d’apprentissage pour chaque paramètre — plus robuste que la descente de gradient classique
Régularisation pour éviter le surapprentissage :
- Arrêt prématuré (early stopping)
- Dropout
- Régularisation L2

Diapo 16 — Méthodes Neuronales de Commande

4 approches présentées : commande directe, MRAC indirecte, MRAC, auto-ajustement PID
Approche retenue (n°4) : le RNA calcule les paramètres du contrôleur (Kp, Ki, Kd — et ici + λ, µ) en ligne
Avantage : adaptation en temps réel à chaque condition opératoire

Diapo 17 — Titre de section : Modélisation du Véhicule

Diapo 18 — Architecture du Véhicule Hybride

Architecture hybride parallèle : moteur thermique (source principale) + moteur électrique (assistance) sur le même arbre
Ce qu’on contrôle : l’angle du papillon θ pour que la vitesse v(t) suive la consigne
Mentionner le schéma bloc : batterie → onduleur → moteur électrique → boîte de vitesse → roues

Diapo 19 — Modèle Mathématique du Véhicule

Paramètres du modèle :

Masse : m = 1000 kg
Traînée aérodynamique : αt = 4 N/(m/s)²
Constante de temps moteur : τe = 0,2 s
F1 = 6400 N, γm = 12500 N

Deux équations différentielles non linéaires :

Dynamique de vitesse : m·dv/dt = Fe(θ) − αt·v² − Fg
Dynamique moteur : τe·dFe/dt = −Fe + Fe1(θ)

Défis : non-linéarité (√θ), paramètres variables (charge, pente), contraintes Tr < 1 s et Mp < 10 %

Diapo 20 — Titre de section : Architecture Neuro-FOPID

Diapo 21 — Architecture du Réseau

Entrées (3) : erreur e(t), intégrale de l’erreur ∫e, dérivée filtrée ė
Sorties (5) : Kp, Ki, λ, Kd, µ

Deux variantes :

N-FOPID Simple : 3→10→5, ~95 paramètres — compact, déployable sur STM32
N-FOPID Profond : 3→128→64→32→5, ~18 000 paramètres — plus de capacité d’approximation

Diapo 22 — Procédure d’Entraînement

5 étapes de la chaîne complète :

Génération des données : simulation sur N conditions (masse, pente, rayon de roue variables)
Optimisation FOPID : fmincon (point intérieur) avec multi-start pour chaque condition — critère J combinant ITSE, dépassement, temps de réponse et erreur statique
Filtre de stabilité : rejet des solutions avec pôles instables, marge de phase < 45°, ou dépassement > 35%
Pré-traitement : normalisation Z-score, split 85/15 %
Entraînement : Adam, lr = 10⁻³, avec Dropout et L2 pour le modèle Profond

Diapo 23 — Résultats d’Entraînement

	Profond	Simple
RMSE validation	1,524	1,378
Époques	49	29
Durée CPU	~15 min	~5 min
Conditions acceptées	713 / 1000	36 / 50

Le modèle Simple converge plus vite et a un RMSE légèrement meilleur
~380 octets pour le Simple ⇒ déployable sur microcontrôleur STM32H7

Diapo 24 — Titre de section : Résultats de Simulation

Diapos 25–28 — Paramètres des Contrôleurs

Rappeler les valeurs pour chaque contrôleur :

PID optimal : Kp=0,5465, Ki=0,1090, Kd=0,1159
FOPID optimal : Kp=0,70, Ki=0,01, λ=0,90, Kd=0,03, µ=1,15
Neuro-PID : topologie 3→10→3, ~73 params, RMSE=1,3779
Neuro-FOPID : deux variantes (Simple ~95 params / Profond ~18 000 params)

Diapo 29 — Réponses Indicielles — Comparaison Nominale

Observation clé — progression monotone :

PID → Neuro-PID → FOPID → Neuro-FOPID (du moins bon au meilleur)

Le Neuro-FOPID atteint la consigne quasi sans dépassement et bien plus rapidement
Insister sur le zoom transitoire (0–0,5 s) qui illustre clairement l’avantage temporel

Diapo 30 — Gain Scheduling

Le RNA modifie les paramètres en temps réel selon l’état du système
On voit que les paramètres s’ajustent lors du transitoire puis se stabilisent en régime permanent
Kp et Kd montrent des variations plus marquées — le réseau compense la non-linéarité initiale

Diapo 31 — Tableau Comparatif des Performances (r = 40 m/s)

Trois observations à mettre en avant :

PID → FOPID : Mp passe de 9,75 % à 2,74 % — réduction de 72 % grâce à la structure fractionnaire
Classique → Neuronal : ISE amélioré de 35 % supplémentaires dans la famille FOPID
Simple ≈ Profond : écart ISE de seulement 4 % avec 95 vs 18 000 paramètres — la complexité du réseau est un facteur secondaire

Diapo 32 — Indices de Performance et Métriques Temporelles

Double levier de performance :

PID → FOPID : Mp de 8,1 % à 3,28 % — grâce à la phase d’avance fractionnaire
Classique → Neural : ISE réduit de 49 % — grâce à la planification adaptative des paramètres

Diapo 33 — Titre de section : Robustesse et Rejet de Perturbation

Diapo 34 — Test de Robustesse : Variation de Masse ±30 %

Montrer visuellement comment les courbes du PID s’écartent plus fortement que celles du Neuro-FOPID
Le N-FOPID (Simple et Profond) montre des trajectoires très groupées ⇒ robustesse aux variations de masse

Diapo 35 — Résultats Chiffrés — Variation de Masse

Résultat clé à mémoriser :

Étendue N-FO Profond = 0,72 pt vs PID optimal = 4,04 pts ⇒ Robustesse ×5,6 supérieure

Le FOPID classique a une étendue encore plus grande que le PID (4,46) car son comportement varie plus avec le gain
Les variantes neuronales compensent cette sensibilité grâce à l’adaptation des paramètres

Diapo 36 — Rejet de Perturbation

Test : perturbation de +30 % sur la force motrice Fe à t = 20 s
N-FO Simple récupère en 655 ms — plus rapide que PID (1,07 s) et FOPID (895 ms)
Insister sur le fait que le réseau s’adapte instantanément à la perturbation

Diapo 37 — Rejet de Bruit Gaussien (σ = 0,05 m/s)

L’ISE du N-FO Simple en présence de bruit est quasi identique à la valeur nominale (0,2113 vs 0,2112)
Le zoom en régime permanent montre que le N-FOPID est bien moins sensible au bruit que le PID ou le FOPID classique

Diapo 38 — Titre de section : Conclusion & Perspectives

Diapo 39 — Synthèse des Contributions

3 contributions principales à bien articuler :

Conception complète du Neuro-FOPID : chaîne génération de données → filtrage de stabilité → entraînement supervisé
Étude d’ablation : isolation quantitative de la contribution fractionnaire (−72 % de dépassement) et de la contribution neuronale (−35 % d’ISE), et preuve que la capacité du réseau est secondaire (4 % d’écart entre 95 et 18 000 params)
Démonstration de la robustesse : réduction de l’étendue du dépassement d’un facteur 5,6 sur variation de masse ±30 %

Diapo 40 — Limitations et Perspectives

Limitations honnêtes à présenter :

Validation uniquement en simulation
Une seule structure de véhicule → généralisation limitée
Dépendance à fmincon pour la génération des données d’entraînement

Perspectives futures :

LSTM pour les dynamiques complexes et séquentielles
Algorithmes génétiques pour générer les données d’entraînement
Implémentation sur FPGA/DSP
Extension aux non-linéarités (frottement, dynamique batterie)

Diapo 41 — Conclusion Générale

Message final :

Ce mémoire démontre que la combinaison du calcul fractionnaire et des réseaux de neurones constitue une avancée significative pour les systèmes de commande modernes.

Le Neuro-FOPID bénéficie simultanément de :

La robustesse structurelle du FOPID (iso-amortissement)
La rapidité d’adaptation du MLP (inférence en < 1 ms)

Diapo 42 — Questions & Réponses

Questions potentielles du jury :

Pourquoi avoir choisi le MLP plutôt qu’un LSTM ou un RNN ? → Suffisant pour une relation statique entrée-sortie ; le LSTM serait pertinent si on introduit de la mémoire temporelle explicite (perspective)
Comment avez-vous choisi les hyperparamètres du réseau ? → Par validation croisée (85/15 %) avec patience de 20 époques sur la RMSE de validation
Qu’est-ce qui garantit la stabilité du système en boucle fermée ? → Le filtre de stabilité appliqué lors de la génération des données (rejet si pôles instables ou marge de phase < 45°)
Pourquoi fmincon pour générer les données si vous critiquez les minima locaux ? → C’est une limitation identifiée — le multi-start (5 fois) atténue le problème, mais les algorithmes génétiques sont envisagés en perspective
Le réseau Simple suffit-il pour une application embarquée ? → Oui, ~380 octets, compatible STM32H7 ; l’écart de performance avec le Profond est de seulement 4 %

Bonne présentation, Rayane ! 🎓

RayaneKch

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