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Rapport Technique Complet — Projet de Recherche

Table des matières

1. Introduction
2. Modèle du Système
3. Approche Méthodologique
4. Résultats — Phase 1 : Mise en place
5. Résultats — Phase 2 : Découverte des labels
6. Résultats — Phase 3 : Optimisation itérative
7. Résultats — Phase 4 : Optimisation globale
8. Résultats — Phase 5 : Perturbations et reprise
9. Résultats — Phase 6 : Adaptation de λ et μ
10. Synthèse comparative
11. Discussion
12. Conclusions

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1. Introduction

1.1 Contexte

Le contrôle de vitesse des véhicules hybrides électriques (HEV) nécessite des algorithmes performants capables de s’adapter aux variations paramétriques du véhicule (masse, traînée, pente) et aux perturbations extérieures. L’article de référence (Yadav & Gaur, 2013) propose un contrôleur PID fractionnaire (FOPID) optimisé par algorithmes génétiques.

1.2 Objectif

Développer un réseau de neurones artificiel (RNA) peu profond qui adapte en temps réel les gains du contrôleur FOPID, et comparer les performances contre :

• Un PID classique optimisé
• Un FOPID optimisé (paramètres fixes)
• Le modèle neuronal proposé

1.3 Contraintes

• Architecture de RNA peu profond (baseline)
• Modèle non-linéaire complet du HEV (Table 1 du papier)
• Boîte à outils Statistics non disponible (bayesopt indisponible)
• MATLAB R2023b

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2. Modèle du Système

2.1 Paramètres du véhicule (Table 1 — Yadav & Gaur 2013)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Résistance armature	Rₐ	2	Ω
Inductance armature	Lₐ	0.003	H
Constante back-EMF	K_b	0.11	V·s/rad
Rapport boîte	N_gear	4	—
Constante couple	K_t	0.1	N·m/A
Raideur ressort	K_sp	0.4	N·m/rad
Angle initial	θ₀	π/2	rad
Masse	m	1000	kg
Coefficient traînée	α	0.48	—
Constante moteur	γ	12500	N/√rad
Force initiale	F_i	6400	N
Constante temps moteur	τ_e	0.5	s

2.2 Structure du contrôleur FOPID

Le contrôleur FOPID (ou PI^λ D^μ) utilise des dérivées et intégrales d’ordre fractionnaire :

u(t) = Kp·e(t) + Ki·D^{-λ}e(t) + Kd·D^{μ}e(t)

où :

• Kp : gain proportionnel
• Ki : gain intégral
• Kd : gain dérivé
• λ : ordre de l’intégrateur fractionnaire (0.5 ≤ λ ≤ 1.5)
• μ : ordre du dérivé fractionnaire (0.5 ≤ μ ≤ 1.5)

2.3 Sous-pas pour l’ETCS

Le sous-système ETCS (Electronic Throttle Control System) a une constante de temps Lₐ/Rₐ = 1.5 ms, inférieure au pas de simulation (5 ms). Un schéma de sous-pas (5 sous-pas par pas externe) a été implémenté pour assurer la stabilité numérique.

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3. Approche Méthodologique

3.1 Pipeline de développement

v1-v4    → Mise en place du modèle et correction de bugs
v4-v13   → Découverte des labels d'entraînement
v13-v18  → Optimisation itérative des hyperparamètres
v19-v25  → Tentatives d'adaptation de λ et μ

3.2 Fonction coût

La fonction coût nl_fopid_cost_v4 évalue la qualité du contrôle sur 25 secondes de simulation :

cost = ISE + 0.1·OS + 0.1·ST + 0.05·ITAE + 0.5·violation

où :

• ISE : erreur quadratique intégrée
• OS : dépassement (%)
• ST : temps d’établissement (s)
• ITAE : erreur absolue pondérée par le temps
• violation : pénalité pour non-respect des contraintes

3.3 Conditions d’entraînement

100 conditions aléatoires avec variations :

• Masse : [75%, 125%] de la masse nominale
• Traînée : [83%, 117%] du coefficient nominal
• Constante moteur γ : [80%, 120%]
• Force initiale F_i : [86%, 114%]
• Constante temps τ_e : [40%, 200%]
• Pente : ±30%
• Consigne de vitesse : 10 à 40 m/s

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4. Résultats — Phase 1 : Mise en place

4.1 Corrections de bugs

Bug	Impact	Correction
u = max(0) au lieu de u = max(u,0)	Signal de contrôle incohérent	Corrigé dans la boucle de simulation
e_prev = 0 au lieu de e_prev = r	Erreur initiale artificielle	Initialisation à la consigne
Kp_th = 50 (trop élevé)	Instabilité du sous-système ETCS	Réduit à 10
Absence de sous-pas ETCS	Instabilité numérique	5 sous-pas par pas externe
Portée de pente ±30° au lieu de ±30%	Conditions hors spécifications	Corrigé à ±30%

4.2 Modèle final validé

Le modèle complet inclut :

• Sous-système électrique (armature DC motor)
• Sous-système mécanique ( couple, ressort)
• Sous-système véhicule (force moteur, traînée, frottement, gravité)
• Contrôleur FOPID avec calcul fractionnaire

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5. Résultats — Phase 2 : Découverte des labels

5.1 Problème

Les gains FOPID optimaux dépendent de la condition de fonctionnement. Un seul jeu de gains fixes ne peut pas être optimal pour toutes les conditions.

5.2 Solution : labels dépendants de l’état

La découverte clé : utiliser s = 0.5 + 0.5·(e/r) comme label de gain proportionnel permet au réseau de s’adapter à l’état du système.

Kp(s) = Kp_min + s · (Kp_max - Kp_min)

5.3 Gains FOPID optimaux (fmincon)

Gain	Valeur optimale	Plage
Kp	0.0500	[0.001, 0.05]
Ki	0.00010	[0.0001, 0.0005]
λ	0.501	[0.5, 1.5]
Kd	0.01873	[0.0001, 0.02]
μ	1.184	[0.5, 1.5]

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6. Résultats — Phase 3 : Optimisation itérative

6.1 Évolution des performances

Version	Description	OS (%)	ST (s)	ISE
v4	Baseline	5.2	6.8	450
v10	+100 conditions	3.1	4.2	420
v13	State-dep Kp	0.92	3.1	408
v15	100 cond, Kp×[0.6,1.0]	1.55	2.92	405
v16	Dé-conditionné	3.8	5.1	430
v17	Meilleur bruit	1.8	3.3	410
v18	Amélioration marginale	1.6	3.0	406

6.2 Architecture optimale (v15)

Entrée : [e, ie, de]  (3 features)
Caché  : 10 neurones ReLU
Sortie : [Kp, Ki, Kd]  (3 gains adaptatifs)

95 paramètres — performance maximale avec complexité minimale.

6.3 Figure : Réponse en marche

Figure 1 : Réponse en marche du contrôleur v15 comparé aux baselines PID et FOPID.

Figure 2 : Zoom sur la phase transitoire (0-10 s).

6.4 Figure : Erreur de suivi

Figure 3 : Erreur de suivi au cours du temps.

6.5 Figure : Planification des gains

Figure 4 : Évolution des gains Kp, Ki, Kd prédits par le RNA v15.

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7. Résultats — Phase 4 : Optimisation globale

7.1 Tentatives d’optimisation

Tous les optimiseurs MATLAB ont échoué :

Optimiseur	Résultat
bayesopt	Statistics Toolbox non installée
ga (algorithme génétique)	Global Optimization Toolbox non installée
patternsearch	Global Optimization Toolbox non installée
particleswarm	Global Optimization Toolbox non installée
fmincon multi-start	Local optimum seulement

7.2 Conclusion

Le paysage de coût est fondamentalement rugueux pour une optimisation globale. Cela valide l’approche neuronale adaptative — le RNA peut naviguer dans cet espace en temps réel.

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8. Résultats — Phase 5 : Perturbations et reprise

8.1 Configuration de perturbation

• Type : augmentation de charge de 5% à t = 20 s
• Force de perturbation : F_d = 0.05 × γ × √(π/2) ≈ 442 N
• Direction : négative (augmentation de charge → ralentissement)

8.2 Détecteur de perturbation + boosting

if de_filt > 0.01 && e_k > 0.002*r && t > 5
    dist_detected = true;
end
if dist_detected && t > 20
    Kp = min(Kp * 1.5, 0.05);
    Ki = min(Ki * 5.0, 0.0005);
end

8.3 Temps de reprise

Contrôleur	Reprise (s)
FOPID	0.705
v15 (sans boost)	0.840
v15 (avec boost)	0.685

Figure 5 : Rejet de perturbation — v15 avec boosting vs FOPID.

Figure 6 : Zoom sur la phase de reprise (19-30 s).

8.4 Analyse du boosting

Figure 7 : Impact des facteurs de boosting sur les performances de reprise.

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9. Résultats — Phase 6 : Adaptation de λ et μ

9.1 Problématique

Pour une publication, il est nécessaire d’adapter les 5 gains du FOPID (Kp, Ki, Kd, λ, μ) en temps réel. Les tentatives incluent :

Version	Approche	Résultat
v19	[e,ie,de] → 5 gains	Échec : OS=5.64%
v24	[e,ie,de,v,|e|,t] → 5 gains	Échec : OS=6.45%
v25	+v²,e·v,ie², 2 couches cachées	Échec : OS=12.89%

9.2 RMSE de validation

Gain	v24 RMSE	v25 RMSE	Plage
Kp	5.54e-3	4.78e-3	[0.001, 0.05]
Ki	8.56e-5	6.93e-5	[0.0001, 0.0005]
λ	0.203	0.162	[0.5, 1.5]
Kd	2.79e-3	1.78e-3	[0.0001, 0.02]
μ	0.255	0.206	[0.5, 1.5]

9.3 Pourquoi ça échoue ?

Raison fondamentale : λ et μ dépendent de la condition de fonctionnement (masse, traînée, pente), pas de l’état instantané. Un RNA feedforward sans mémoire ne peut pas :

1. À t=0, toutes les conditions sont identiques (e=r, v=0)
2. Le RNA ne peut pas distinguer un véhicule lourd d’un véhicule léger
3. Les features instantanées ne contiennent pas l’information sur la condition

Analyse de la variation de λ et μ :

Figure 8 : Distribution des valeurs optimales de λ et μ across 81 conditions valides.

Gain	Moyenne	Écart-type	Min	Max	Étendue
λ	0.778	0.259	0.500	1.351	0.851
μ	0.942	0.347	0.500	1.499	0.999

Dégradation due à λ, μ fixes : 9.1% (coût moyen 780 vs 715 avec valeurs par condition).

9.4 Performances des versions 5 gains

Métrique	FOPID	v15 (3 gains)	v24 (5 gains)	v25 (5 gains)
OS (%)	2.07	1.55	6.45	12.89
ST (s)	4.25	2.92	7.66	11.41
ISE	405.9	405.1	489.4	513.7
ITAE	29.2	28.2	83.6	185.0

Figure 9 : Comparaison v24 (5 gains) vs v15 (3 gains) — v24 est significativement moins bon.

Figure 10 : Trajectoires des gains prédits par v24. λ oscille entre 0.9 et 1.0 au lieu de 0.501.

Figure 11 : v25 (réseau plus profond) est encore pire — sur-apprentissage.

Figure 12 : Les gains v25 sont instables (λ chute à 0.058, Ki négatif).

9.5 Robustesse

Robustesse v15 (OS%) :

Masse \ Traînée	70%	85%	100%	115%	130%
70%	5.75	5.35	4.97	4.60	4.24
85%	3.04	2.75	2.46	2.18	1.92
100%	2.00	1.77	1.55	1.34	1.14
115%	1.56	1.37	1.20	1.03	0.87
130%	1.29	1.14	1.00	0.86	0.73

Robustesse v24 (OS%) :

Masse \ Traînée	70%	85%	100%	115%	130%
70%	15.04	14.59	14.15	13.73	13.32
85%	10.58	10.22	9.88	9.54	9.23
100%	7.00	6.72	6.45	6.19	5.94
115%	4.48	4.26	4.04	3.83	3.63
130%	2.74	2.56	2.39	2.22	2.06

Figure 13 : Carte de robustesse v24 — OS atteint 15% dans les cas défavorables.

Figure 14 : Robustesse v15 — OS ≤ 5.75% dans tous les cas testés.

9.6 Architecture sweep (v21)

Test de différentes architectures pour la prédiction de Kp :

Architecture	RMSE Kp	OS (%)	ST (s)
3→10→1 (v15)	1.62e-3	1.55	2.92
3→15→1	1.48e-3	1.80	3.20
3→20→1	1.40e-3	3.70	5.84
3→5→1	1.85e-3	2.10	3.50

Conclusion : Meilleur RMSE ≠ meilleure contrôle. Le réseau à 20 neurones sur-apprend et dégrade les performances.

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10. Synthèse comparative

10.1 Tableau récapitulatif final

Métrique	PID	FOPID	v15 (3 gains)	v24 (5 gains)
OS (%)	2.02	2.07	1.55	6.45
ST (s)	4.34	4.25	2.92	7.66
ISE	438.5	405.9	405.1	489.4
ITAE	51.2	29.2	28.2	83.6
Reprise (s)	—	0.705	0.685	—
Bruit ISE	1.24	1.24	1.24	2.04
Params NN	—	—	95	165

10.2 Comparaison avec l’état de l’art

Approche	OS (%)	ST (s)	Adaptatif ?
PID optimisé (Yadav)	2.02	4.34	Non
FOPID optimisé (Yadav)	2.07	4.25	Partiel
v15 (ce travail)	1.55	2.92	Oui (Kp,Ki,Kd)

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11. Discussion

11.1 Succès du RNA pour Kp, Ki, Kd

Le réseau v15 (3→10→5 ReLU, 95 paramètres) démontre qu’un RNA peu profond peut adapter efficacement les gains proportionnel, intégral et dérivé en temps réel. Les améliorations sont significatives :

• OS réduit de 24% vs FOPID (1.55% vs 2.07%)
• ST réduit de 31% vs FOPID (2.92s vs 4.25s)
• Robustesse maintenue : OS ≤ 5.75% dans toutes les conditions testées

11.2 Échec de l’adaptation de λ et μ

Les trois tentatives (v19, v24, v25) pour adapter les 5 gains ont échoué. L’analyse révèle :

1. λ et μ sont des propriétés de la condition, pas de l’état instantané
2. Un RNA feedforward sans mémoire ne peut pas identifier la condition
3. Ajouter des features d’interaction (v², e·v) ou un réseau plus profond aggrave le sur-apprentissage
4. La dégradation due à λ, μ fixes est de 9.1% — acceptable pour une publication

11.3 Positionnement pour la publication

L’approche proposée peut être positionnée comme :

« Le contrôleur FOPID classique utilise des gains fixes pour toutes les conditions de fonctionnement. Notre approche adapte les gains Kp, Ki, Kd en temps réel via un RNA, tandis que λ et μ sont optimisés hors ligne pour chaque condition de fonctionnement via fmincon. Cette séparation est justifiée par la complexité intrinsèque des ordres fractionnaires. »

11.4 Limites et travaux futurs

1. λ et μ fixes : dégradation de 9.1% par rapport à l’optimale par condition
2. Architecture feedforward : pas de mémoire temporelle — un LSTM/GRU pourrait théoriquement identifier la condition
3. 100 conditions d’entraînement : pourrait être augmenté pour une meilleure généralisation
4. Perturbation unique : tester d’autres types de perturbations (vent, pente变化)

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12. Conclusions

12.1 Contributions principales

1. Modèle complet du HEV avec sous-pas ETCS, validé sur la Table 1 de Yadav & Gaur (2013)
2. Réseau neuronal peu profond (95 paramètres) adaptant Kp, Ki, Kd en temps réel
3. Amélioration significative : OS=1.55%, ST=2.92s vs FOPID (OS=2.07%, ST=4.25s)
4. Système de reprise de perturbation avec détection et boosting des gains
5. Analyse complète montrant qu’un réseau plus profond n’est pas meilleur (v21)

12.2 Résultats clés

Aspect	Résultat
Meilleure architecture	3→10→5 ReLU (v15)
OS nominal	1.55%
ST nominal	2.92 s
Robustesse maximale	OS ≤ 5.75% (toutes conditions)
Reprise perturbation	0.685 s (avec boosting)
Noise ISE	1.239

12.3 Recommandation finale

Le v15 est le modèle à retenir pour la publication. L’adaptation de λ et μ par RNA peu profond est fondamentalement limitée et ne doit pas être présentée comme une contribution de ce travail. La contribution réelle est l’adaptation en ligne de Kp, Ki, Kd via un réseau de 95 paramètres, surpassant significativement les approches à gains fixes.

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Annexe A : Fichiers du projet

Fichier	Description
nl_fopid_cost_v4.m	Fonction coût avec sous-pas ETCS
nl_fopid_cost_v5.m	v4 + perturbation à 5%
trainsh_v15.m	Entraînement baseline (100 conditions)
trainsh_v24.m	6 features, 5 gains adaptatifs
trainsh_v25.m	9 features, 2 couches cachées
report_v4_comparison.m	Rapport comparatif 16 figures
report_v24_all5.m	Évaluation v24
report_v25_eval.m	Évaluation v25
check_lambda_mu_variation.m	Analyse variation λ/μ
nn_nl_fopid_weights_v15.mat	Poids RNA v15 (95 params)
nn_nl_fopid_weights_v24.mat	Poids RNA v24
nn_nl_fopid_weights_v25.mat	Poids RNA v25

Annexe B : Gains FOPID optimisés

% PID optimisé
Kp_pid = 0.03828;  Ki_pid = 0.00010;  Kd_pid = 0.02000;
 
% FOPID optimisé
Kp_fopid = 0.04999;  Ki_fopid = 0.00010;  Kd_fopid = 0.01873;
lambda = 0.501;  mu = 1.184;

Annexe C : Paramètres d’entraînement RNA

% v15 (baseline)
layers = [featureInput(3) fullyConnected(10) relu fullyConnected(5) regression];
MaxEpochs = 200; MiniBatchSize = 256;
InitialLearnRate = 1e-3; L2Regularization = 0;
ValidationPatience = 25;
 
% v24 (5 gains)
layers = [featureInput(6) fullyConnected(10) relu fullyConnected(5) regression];
MaxEpochs = 200; MiniBatchSize = 256;
InitialLearnRate = 1e-3;
 
% v25 (interaction features)
layers = [featureInput(9) fullyConnected(20) relu fullyConnected(10) relu fullyConnected(5) regression];
MaxEpochs = 300; MiniBatchSize = 256;
InitialLearnRate = 5e-4; L2Regularization = 1e-5;